La théorie de l'échantillonnage consiste, connaissant des propriétés d'une population, à déterminer des propriétés d'échantillons prélevés dans la population.
Situation
On mesure les diamètres de pièces mécaniques dans un lot très important fabriqué par une même machine ; il apparaît que les valeurs observées suivent une loi normale de moyenne 10,06 mm et d'écart type 0,18 mm.
On prélève au hasard dans ce lot des échantillons de 9 pièces.
Échantillon 1 Échantillon 2 Échantillon 3
Taille n = 9 Taille n = 9 Taille n = 9
Diamètre moyen d1 Diamètre moyen d2 Diamètre moyen d3
Étudions la suite formée par les différents diamètres moyens.
Autrement dit : étudions la distribution d’échantillonnage des moyennes.
Définitions
§ La population d'où provient un échantillon est appelée population mère.
§
Dans une population, on prélève
des échantillons de taille n ;
la distribution des moyennes d'échantillons
est la suite formée par les moyennes des divers échantillons de taille n.
§ Tirage exhaustif d’un individu : Tirage sans remise : l’individu n’est pas remis dans la population après avoir été prélevé.
§ Tirage non exhaustif d’un individu : Tirage avec remise. Un individu peut être choisi plusieurs fois.
§ Remarque : dans la plupart des cas où la population a un grand effectif dont on tire une faible proportion d’éléments, on assimile un tirage sans remise à un tirage avec remise.
Distribution d'échantillonnage des moyennes
Propriété 1
Si l'on
extrait, au hasard, des échantillons de taille n, d'une population suivant une
loi normale, de moyenne m et
d'écart type
s
,la distribution des moyennes d'échantillons suit la loi normale 
Retour à l’exemple
Quelle est la probabilité pour que la distribution d’échantillonnage des diamètres moyens soit :
1) inférieur à 9,9 mm
2) supérieur à 10,2 mm
Propriétés
Notations :
Population mère : moyenne m
écart-type s
taille N
Échantillons : taille n ( n ³ 30 )
Distribution d’échantillonnage des moyennes : 
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Hypothèses |
Conclusion |
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n négligeable devant la taille de la population mère ou population infinie ou échantillon avec remise (tirage non exhaustif) |
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n non négligeable devant N ou échantillon sans remise ou tirage exhaustif |
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Distribution d'échantillonnage des pourcentages
Propriété
Notations :
Population mère : pourcentage p
taille N
Échantillons : taille n ( n ³ 30 )
Distribution d’échantillonnage des pourcentages : F
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Hypothèses |
Conclusion |
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n négligeable devant la taille de la population mère ou population infinie ou échantillon avec remise (tirage non exhaustif) |
F suit la loi normale |
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n non négligeable devant N ou : échantillon sans remise (tirage exhaustif) et n non négligeable devant N |
F
suit la loi normale |
)