LOIS CLASSIQUES

Lois classiques

Bases

Variable aléatoire

Situation :

Une urne contient 1 boule blanche, 3 boules rouges, 6 boules noires.

On gagne 100 € quand on tire une boule blanche,

20 € quand on tire une boule rouge,

0 € quand on tire une boule noire.

Le gain est une variable aléatoire X.

Définition :

Soit W un ensemble d'événements élémentaires sur lequel on a défini une probabilité. Faisons correspondre un nombre x à chaque événement élémentaire.

On définit ainsi une variable aléatoire discrète X.

Loi de probabilité

Exemple :

X, la variable aléatoire gain, peut prendre les valeurs discrètes 100, 20, 0, avec les probabilités suivantes :

Définition :

L'association des valeurs k de la variable X et des probabilités P[X=k] est la
loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Espérance mathématique

Exemple :

Calculer le gain moyen. On l’appellera E(X)

Formule :

On écrit parfois : E(X) = S k p_k

Propriétés

Propriétés :

Soient a et b deux constantes, X et Y deux variables aléatoires :

E(aX+b) = aE(X) + b

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Exemples :

E(2 X + 3 ) =

Considérons la variable aléatoire Y telle que E(Y) = 11 E( X + Y ) =

Variance et écart type

Définition :

L’écart type est la racine carrée de la variance.

Propriété

Exemple :

Calculer V(X) dans le cas où X est la variable aléatoire gain.

Propriétés :

V(aX+b) = a²V(X)

V(X+Y) = V(X) + V(Y) dans le cas où X et Y sont des variables aléatoires indépendantes.

Exemples :

V( 2 X + 3 ) =

s( 3 X + 2 ) =

s( -2 X + 5 ) =

Considérons la variable aléatoire Y telle que E(Y) = 11 et s( Y ) = 10 ( X et Y sont indépendantes).

s( X + Y ) =

Loi de Bernouilli

Généralités :

X peut prendre, soit la valeur 1 avec la probabilité p, soit la valeur 0 avec la probabilité q.

Exemple :

On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir la face 4 ?

Loi Binomiale

La loi binomiale intervient quand on répète n fois une épreuve, les résultats des n épreuves étant indépendants. Chaque épreuve peut avoir pour résultat un événement A ( appelé succès ) avec une probabilité constante p ou l'événement contraire B (échec ) avec la probabilité : q = 1–p. La variable aléatoire binomiale B(n,p) représente le nombre de succès au cours des n épreuves répétées. C'est le cas de tirages avec remise.

Loi de probabilité :

0 £ k £ n

Exemple :

On lance 5 fois un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois la face 4 ?

Espérance, variance :

Propriété:

E(X) = np

V(X) = npq

Dans l'exemple ci-dessus,

E(X) =

V(X) =

Loi de Bernouilli, loi binomiale :

Propriété :

Si X₁, X₂, ... X_n sont des variables de Bernouilli indépendantes suivant toutes la même loi de paramètres p et q, alors : X = X₁ + X₂ + ... + X_n suit la loi binomiale B(n,p).

Loi de Poisson

Exemple :

Un industriel fabrique des pièces métalliques. Le soin apporté à la fabrication est tel qu'en moyenne il y a 5 pièces défectueuses sur 1 000 pièces fabriquées.

Une série de pièces est fabriquée. On examine 800 de ces pièces prises au hasard.

On suppose que le nombre de pièces défectueuses suit une loi de Poisson de paramètre 4.

Quelle est la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit exactement de 3 ?

Quelle est la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit d’au plus 3 ?

Quelle est la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit d’au moins 4 ?

Représenter graphiquement la loi de Poisson de paramètre 4.

Généralités :

La loi de Poisson ne peut prendre que des valeurs entières. Elle sert à étudier des phénomènes rares, à caractères souvent accidentels.

Exemples :

les pannes de machines,

les sinistres,

les appels téléphoniques dans un standard,

les files d'attente,

la mortalité...

Loi de probabilité :

Lambda étant le paramètre de la loi de Poisson.

Espérance, variance :

Propriété:

E(X) = V(X) = lambda

Dans l'exemple ci-dessus

E(X) = V(X) =

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Exemple

Dans une entreprise, on considère que la probabilité d'obtenir un article défectueux à la sortie d'une chaîne de fabrication est p = 0,05. Lors d'un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 articles. Bien que ce prélèvement soit exhaustif (sans remise), on considère que la production est suffisamment nombreuse pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à 120 tirages avec remise d'un article défectueux ou non. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre d'articles défectueux d'un tel échantillon

Loi de X :

E(X) =

Comparons la loi de X avec celle d'une variable aléatoire Y suivant la loi de Poisson P(6)

(Les nombres seront donnés à 10^-3 près)

K	P[ X = k ] =	P[ Y = k ] =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

K	P[ X = k ] = , X suivant B(120 ; 0,05)	P[ Y = k ] = , Y suivant P(6)
0	0,002	0,002
1	0,013	0,015
2	0,042	0,045
3	0,087	0,089
4	0,134	0,134
5	0,163	0,161
6	0,165	0,161
7	0,141	0,138
8	0,105	0,103
9	0,069	0,069
10	0,040	0,041
11	0,021	0,023
12	0,010	0,011
13	0,004	0,005
14	0,002	0,002
15	0,001	0,001
16	0,000	0,000

Conclusion

Théorème de convergence :

Si la variable aléatoire X suit la loi B(n, p) avec n³ 30, p £ 0,1 et np < 15

alors on peut remplacer la loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre lambda = np.

La loi normale

La loi normale centrée réduite

Domaines d'intervention

Elle intervient dans la modélisation de phénomènes aléatoires possédant de nombreuses causes indépendantes dont les effets s'additionnent, sans que l'un d'eux soit dominant. Compte tenu de la complexité des phénomènes économiques et sociaux actuels, elle intervient dans tous les secteurs : salaires, prix...

Loi normale centrée réduite N(0, 1)

Lecture de la table

P(T < 1,2) =

P(T < 1,23) =

P(T < 2,58) =

Quelques propriétés

La courbe représentant la variable aléatoire normale centrée réduite est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

L'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1.

La loi normale centrée réduite a pour moyenne 0 et pour écart type 1.

Exemples

P(T > 1) =

P(T < -2,28) =

P(T > -2,28) =

P(T < -3,1) =

P(T > -3,1) =

P(2,28 < T < 3,1) =

P(-2,28 < T < 2,28) =

P(-2,28< T < -2) =

P(-2 < T < 2,28) =

La Loi normale N(m, s )

Situation

La distribution des Q.I. au test de la W.A.I.S. (Weschler Adult Intelligence Test) permet de supposer que ce Quotient Intellectuel X suit une loi normale d’espérance m = 100 et d’écart-type s = 15.

On convient d’appeler normal, un Q.I. qui diffère de moins d’un écart-type s de la valeur moyenne m.

Calculons la proportion d’individus ayant un Q.I. X normal.

Propriétés

La loi normale N(m , s )

a pour moyenne m, et pour écart type s .

X suit la loi N(m, s ) équivaut à suit N(0, 1).

Retour à l’exemple

Autre exemple

X suit la loi N(3, 2).

P(X > 1) =

P(1 < X < 2,2) =

P(1 < X < 7) =

Calcul classique

X suit la loi normale N(m,s).

Calculer P(m - 2s < X < m + 2s)

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Théorème de convergence

Si la variable aléatoire X suit la loi B(n, p) avec np et nq supérieurs à 15

alors on peut remplacer la loi binomiale par la loi Normale N(np, )

Droite de Henri

Dans une entreprise, des pièces ont été usinées. Les diamètres de 100 pièces ont été mesurés. Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau suivant :

Diamètre des pièces (en millimètres)	Nombre de pièces	Fréquence cumulée croissante
8,45 à 8,55	1
8,55 à 8,65	4
8,65 à 8,75	6
8,75 à 8,85	13
8,85 à 8,95	13
8,95 à 9,05	22
9,05 à 9,15	19
9,15 à 9,25	11
9,25 à 9,35	8
9,35 à 9,45	2
9,45 à 9,55	1
	100

Peut-on raisonnablement émettre l'hypothèse que les diamètres des pièces en question sont distribués suivant une loi normale ?

Remplir la dernière colonne du tableau ci-dessus

Faire le test de la droite de Henri.

On utilise pour cela un papier gausso-arithmétique.

Diamètre des pièces (en millimètres)	Nombre de pièces	Fréquence cumulée croissante
8,45 à 8,55	1	0,01
8,55 à 8,65	4	0,05
8,65 à 8,75	6	0,11
8,75 à 8,85	13	0,24
8,85 à 8,95	13	0,37
8,95 à 9,05	22	0,59
9,05 à 9,15	19	0,78
9,15 à 9,25	11	0,89
9,25 à 9,35	8	0,97
9,35 à 9,45	2	0,99
9,45 à 9,55	1	1
	100