Limites

Nous admettrons les résultats suivants pour deux fonctions f et g définies sur un ensemble E convenable.

Limites et opérations

Limite de f+g (en x₀, x₀⁺, x₀^-, -∞, +∞)

Si lim f =	l	l	l	+∞	-∞	+∞	-∞
Et si lim g =	l’	+∞	-∞	+∞	-∞	-∞	+∞
Alors lim f+g =	l + l’	+∞	-∞	+∞	-∞	On ne peut pas conclure	On ne peut pas conclure

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = 1/x

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par g(x) = x

Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par h(x) = f(x) + g(x)

Calculer :

Limite de λf, λ réel strictement positif

Si lim f =	l	+∞	-∞
Alors (λ > 0), lim λf =	λl	+∞	-∞
Alors (λ < 0), lim λf =	λl	-∞	+∞

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = x

Calculer : , , ,

Limite de f.g

Si lim f =	l	l > 0	l < 0	+∞	-∞	-∞	0	0
Et si lim g =	l’	+∞	+∞	+∞	+∞	-∞	-∞	+∞
Alors lim f.g =	l . l’	+∞	-∞	+∞	-∞	+∞	On ne peut pas conclure	On ne peut pas conclure

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = -x

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par g(x) = x + 2

Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par h(x) = f(x) × g(x)

Calculer : et

Limite de 1/f

Si lim f =	l non nul	-∞ ou +∞	0 et f(x) > 0	0 et f(x) < 0
alors lim (1/f) =	1/l	0	+∞	-∞

Exemple

Soit f la fonction définie sur l’ensemble des réels par f(x) = (x + 1)²

Calculer : et

Limite de f/g

On écrit et on applique les propriétés précédentes.

Limite d’une fonction polynôme ou rationnelle

Fonction polynôme

Soit P une fonction polynôme :

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ ; a_n non nul

Alors et

On énonce : quand x tend vers +∞ ou -∞, toute fonction polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par

Calculer : et

Fonction rationnelle

Soit f une fonction rationnelle :

avec a_n non nul et b_p non nul. On a :

et

On énonce : quand x tend vers +∞ ou -∞, toute fonction rationnelle a même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemples

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par

Calculer : et

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par

Calculer : et

Soit f la fonction définie sur l’ensemble des réels par

et

Fonction composée

Si

et si

(où a, b sont finis ou non) , alors :

Le domaine de définition de f est un ensemble D, celui de g un ensemble E contenant f(D).

Exemples

Soit g la fonction définie par : g(y) = ln y, pour y appartenant à ]0 ; ∞[

Soit f la fonction définie par : f(x) = 2x + 4, pour x réel

Calculer ,

Limites à connaître

Limites en +∞

Pour a>1,

Pour 0 < a <1,

Limites en -∞

Pour a>1,

Pour 0<a<1,

Limites en 0

Limite et relation d’ordre

Propriétés

Les trois propriétés suivantes, faites en x₀, sont valables en +∞, -∞, x₀⁺, x₀^-.

Si,

Ø pour tout x dans E, f(x) ≤ g(x)

Ø f admet une limite en x₀

Ø g admet une limite en x₀

Alors

Si,

Ø pour tout x dans E, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), la fonction h étant aussi définie sur E

Ø f et h admettent la même limite finie l en x₀

Alors

Cette dernière propriété est parfois appelée le « théorème des gendarmes ».

Exemple

Déterminer

Croissance comparée des fonctions ln, exp, et puissances

Limites en +∞

Pour tout réel alpha,

Pour tout réel alpha positif strict,

Exemples

Déterminer , , ,

Limites en 0

Pour tout α > 0,

Exemple

Déterminer

Formes indéterminées

(+∞) - (+∞)

0 × ∞

1^∞

∞⁰

0⁰

Quelques méthodes pour étudier une forme indéterminée

Ø Simplification d’expressions algébriques

Exemple :

Ø Mise en facteurs

Exemple :

Ø Utilisation de la quantité conjuguée

Exemple :

Ø Utilisation de logarithmes ou d’exponentielles

Exemple :

Continuité

Continuité en x₀

La fonction f, définie sur un intervalle I non réduit à un point et contenant x₀ est continue en x₀, si et seulement si, elle admet une limite finie en x₀.

Prolongement par continuité en x₀

Soit f une fonction définie sur un ensemble E tel que E È {x₀} soit un intervalle.

On suppose que f n’est pas définie en x₀ mais admet une limite finie l en x₀.

On définit g : E È {x₀} |→R, par g(x) = f(x) si x Î E, g(x₀)=l.

On dit que g est un prolongement par continuité de f en x₀.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; 2[È]2 ; +∞ [par

Peut-on prolonger f par continuité au point d’abscisse 2 ?

Si oui, quel est son prolongement par continuité ?

Continuité à droite, à gauche en x₀

§ Soit f une fonction définie sur [x₀ , x₀ + a ]

Alors f est continue à droite en x₀ si et seulement si

§ Soit f une fonction définie sur [x₀ – a , x₀ ]

Alors f est continue à gauche en x₀ si et seulement si

§ Soit f une fonction définie sur [x₀ – a , x₀ + a]

Alors f est continue en x₀ si et seulement si

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; 2[È]2 ; +∞ [par

Tracer la fonction f dans un repère orthonormé.

La fonction f admet-elle une limite à gauche en 2 ? Si oui, laquelle ?

La fonction f admet-elle une limite à droite en 2 ? Si oui, laquelle ?

Continuité sur un ensemble

Une fonction définie sur un intervalle, est dite continue sur E lorsqu’elle est continue en tout point de E.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; 2[È]2 ; +∞ [par

Sur quel ensemble la fonction f est-elle continue ?

Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; 2[È]2 ; +∞ [par

Sur quel ensemble la fonction f est-elle continue ?

Asymptotes

Soit f une fonction numérique définie sur un ensemble E, et C sa courbe représentative dans un repère

Introduction

Soit f la fonction qui à x associe 1/x.

Déterminer son ensemble de définition, et tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Asymptote horizontale

La droite Δ d’équation y.= b est une asymptote à la courbe C  si :

ou

Asymptote verticale

La droite d’équation x = x₀ est une asymptote à la courbe C si :

ou (idem en -∞)

Asymptote non parallèle aux axes

Soit a non nul.

La droite Δ d’équation y = ax + b est une asymptote à la courbe C .si :

et (idem en -∞)

ou si :

ou si

Exemple :

Soit la fonction f définie par : f(x) = x + 1 – e^-x

Donner l’ensemble de définition de f, et une asymptote à la courbe représentative de f.