Exercice 1

limite cherchée = +∞

Exercice 2

limite cherchée = 1

Exercice 3

On met (x-1) en facteur au numérateur et au dénominateur.
Il reste ( x² - x + 1 ) / ( x² + 1 )

limite cherchée = 1/2

Exercice 4

Forme indéterminée ∞ - ∞

On met la fraction sous le dénominateur commun (x³ – 1) × (x² - 1)

On met (x-1)² en facteur au numérateur et au dénominateur

La fraction de départ est égale à ( -2x – 1 ) / [( x² + x + 1 ) × (x + 1)]

Limite cherchée = -1/2

Exercice 5

On met 3^x en facteur au numérateur et au dénominateur

Le numérateur 1 – (2/3)^x tend vers 1 lorsque x tend vers +∞

En effet (2/3)^x est du type a^x avec 0 < a < 1 ; sa limite est donc 0 lorsque x tend vers +∞

Le dénominateur 1 + (2/3)^x tend vers 1 lorsque x tend vers +∞ (même raisonnement)

Limite cherchée = 1

Exercice 6

On multiplie par la quantité conjuguée, au numérateur et au dénominateur.

Numérateur = 2 x – 1

Dénominateur = racine(x² + 2x – 1) + x

= x × [racine(1 + 2/x – 1/x²) + 1]

On « coupe en deux » la fraction :

2 / [racine(1 + 2/x – 1/x²) + 1] tend vers 2/2 = 1 lorsque x tend vers +∞

1 / { x × [racine(1 + 2/x – 1/x²) + 1] } tend vers 0 lorsque x tend vers +∞

Limite cherchée = 1

Exercice 7

On multiplie par la quantité conjuguée, au numérateur et au dénominateur.

On met en facteur au numérateur et au dénominateur (x-3)

La fraction de départ est égale à 1/[(x+1)^1/2 + 2]

Limite cherchée= 1/4

Exercice 8

0 ≤ sin² (1/x) ≤ 1

1 ≤ 1 + sin² (1/x) ≤ 2

Si x est positif :

x³ ≤ x³ × (1 + sin² (1/x)) ≤ 2 × x³

On utilise le « théorème des gendarmes »

Ainsi, la limite lorsque x tend vers 0⁺ de x³ × (1 + sin² (1/x)) est égale à 0

Si x est négatif :

2 × x³ ≤ x³ × (1 + sin² (1/x)) ≤ x³

On utilise le « théorème des gendarmes »

Ainsi, la limite lorsque x tend vers 0^- de x³ × (1 + sin² (1/x)) est égale à 0

Conclusion : Limite cherchée= 0

Exercice 9

-1 ≤ cos (1/x) ≤ 1

2 ≤ 3 + cos (1/x) ≤ 4

4/x² ≤ (2/x²) × (3 + cos (1/x))

la limite lorsque x tend vers 0^- de 2/x² est égale à +∞

Conclusion : Limite cherchée= +∞

Exercice 10

On utilise les résultats sur les limites de fonctions rationnelles.

-x³/x² = - x a pour limite -∞ lorsque x tend vers +∞

Limite cherchée= -∞

Exercice 11

Le numérateur tend vers 9 – 6 – 5 = - 2

Le dénominateur tend vers 0⁺ lorsque x tend vers 3⁺

Limite cherchée= -∞

Exercice 12

-2x + 7 racine(x) = -2x [ 1 – 7 /(2 racine(x)]

-2x tend vers - ∞ lorsque x tend vers +∞

7 /(2 racine(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞

Limite cherchée= -∞

Exercice 13

(x+3)^x / x ^x+4 = e^{x ln(x+3) – x lnx – 4lnx}

= e^{x [ ln(x+3) – lnx ]} × e^{-4 lnx}

= e^{x ln[ (x+3) / x ]} × e^{-4 lnx}

= e^{3 × ln[ (1+3/x) / (3/x) ]} × e^{-4 lnx}

ln[ (1+3/x) / (3/x) ] tend vers 1 lorsque x tend vers +∞

e^{3 × ln[ (1+3/x) / (3/x) ]} tend vers e³ lorsque x tend vers +∞

-4 lnx tend vers -∞ lorsque x tend vers +∞

e^{-4 lnx} vers 0 lorsque x tend vers +∞

Limite cherchée= 0

Exercice 14

x⁴ × (1,01)^x = x⁴ × e^{x ln(1,01)}

= [ - x ln (1,01) ]⁴ / e^{-x ln(1,01)} × 1/[ ln(1,01)]⁴

Comme x^a/e^x tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ (a étant réel),

[ - x ln (1,01) ]⁴ / e^{-x ln(1,01)} tend vers 0 lorsque x tend vers -∞ ( ln(1,01) est positif)

Limite cherchée= 0

Exercice 15

Comme e^x tend vers 0 lorsque x tend vers -∞,

Limite cherchée= 5

Exercice 16

[ ln (x e^x) ] / (x + 1 ) = [ln x + ln e^x] / (x + 1)

= [ ( ln x ) / (x + 1) ] + x/(x + 1)

= ( ln x )/x × 1/(1 + 1/x) + x/(x + 1)

( ln x )/x tend vers 0 lorsque x tend vers +∞

1/(1 + 1/x) tend vers 1 lorsque x tend vers +∞

x/(x + 1) tend vers 1 lorsque x tend vers +∞

Limite cherchée= 1

Exercice 17

· f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers -2⁺
donc x = -2 est asymptote à C.

· [ (f(x)) / x ] tend vers -1 lorsque x tend vers +∞
f(x) + x tend vers 5 lorsque x tend vers +∞
donc y = -x + 5 est asymptote à C en +∞.

· f(x) – (-x + 5) = -4 / ( x + 2) <0 pour x grand
donc la courbe C est dessous l’asymptote d’équation y = -x + 5, pour les grandes valeurs de x.

Exercice 18

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -1⁺
donc x = -1 est asymptote à C.

Exercice 19

f(x) = e^x / [ (x – 1) (x – 2)]

f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers 1⁺
donc x = 1 est asymptote à C.

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 2⁺
donc x = 2 est asymptote à C.

f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers -∞
donc y = 0 est asymptote à C.

Exercice 20

· en -2⁺ :
f(x) = [ (4x – 1) / (x - 2) ] × 1/(x + 2)

lorsque x = -2, (4x – 1) / (x - 2) = 9/4

1/(x + 2) tend vers +∞ lorsque x tend vers -2⁺

donc f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -2⁺

donc x = -2 est asymptote à C

· en 2^- :
f(x) = [ (4x – 1) / (x + 2) ] × 1/(x - 2)

lorsque x = 2, (4x – 1) / (x + 2) = 7/4

1/(x - 2) tend vers -∞ lorsque x tend vers 2^-

donc f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers 2^-

donc x = 2 est asymptote à C

Exercice 21

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -2⁺
donc x = 2 est asymptote à C.

f(x) – (2x - 1) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞
donc y = 2x - 1 est asymptote à C au voisinage de +∞.

Exercice 22

· Pour x = -7 :
2 x² + 5x – 3 = 60 > 0

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -7⁺
donc x = -7 est asymptote à C.

· f(x) – (2x - 9) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞
donc y = 2x - 9 est asymptote à C au voisinage de +∞.